====== [PAN] Privacidad Diferencial (Resumen) ======
===== Caso base =====
Tenemos un dataset D que contiene datos de usuarios, siendo cada fila los datos de un usuario. El Curador, que es una entidad de confianza para los usuarios, publica algunos datos usando un mecanismo M que da como resultado $R=M(D)$. El adversario trata de realizar inferencias sobre los datos D contenidos en R.
===== De que protege la privacidad diferencial =====
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La privacidad diferencial protege contra el riesgo del conocimiento de información sobre un sujeto usando inferencia con información obtenida a parte. De esta forma, observando la respuesta R no se puede cambiar lo que el adversario puede saber.

La clave para dificultar a un adversario identificar datos sobre un sujeto es poder crear dos salidas $R=M(D)$ y $R=M(D')$, siendo D y D' dos datasets diferenciados por que el primero contiene al sujeto en cuestión y el segundo no, las cuales no puedan ser distinguibles la una de la otra. Para hacer esto se diseña el mecanismo M, el cual no puede ser deterministico, si no probabilístico.
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La distribución de los datasets debe ser similar, es decir, dada una probabilidad R de que un dato viene del dataset D, esta tiene que ser similar a la probabilidad de que un dato venga del dataset D'. Los datasets que difieren en una fila son conocidos como vecinos. En resumudas cuentas, la probabilidad de que $M(D)=R$ debe ser muy similar a la de que $M(D')=R$
==== Como definir distribuciones similares ====
=== Definición tentativa de privacidad con parámetro P ===

Un mecanismo M es privado si para todas las salidas posibles de R un todos los pares de datasets vecinos (D, D'):

$Pr(M(D')=R) - P < Pr(M(D)=R) < Pr(M(D')=R) + P$

El problema de esta definición es que existen ciertas salidas de R que solo pueden ocurrir cuando la entrada es D', lo que permite al adversario distinguir entre D y D'

=== Definición tentativa de privacidad 2 con parámetro P ===

$$\frac{Pr(M(D')=R)}{p}≤Pr(M(D)=R)≤Pr(M(D)=R)*p$$

===== Definición de Privacidad Diferencial (PD) =====
Un mecanismo $M:D$->$R$ es ε-diferencialmente privado (ε-PD) si para todas las posibles salidas $R∈R$ y los datasets vecinos $D,D'∈D$:
$$Pr(M(D) = R) ≤ Pr(M(D')=R)*e^ε $$
Se usa $e^ε$ en vez de $ε$ por que facilita la formulación de ciertos teoremas útiles. OJO: Si el dominio de salida del mecanismo no es discreto el sistema no funciona.
==== A tener en cuenta ====
  * Cuanto más pequeño es el valor de $ε$ Más privacidad
  * La privacidad perfecta se da cuando $ε=0$, el problema de esto es que la salida va a ser prácticamente inutil
  * No existe un consenso sobre como de pequeño debe ser $ε$, pero debe tener un valor que evite que la salida del mecanismo sea inútil.

==== Sobre la privacidad diferencial y rendimiento de ataques empíricos ====
La privacidad diferencial asegura la protección incluso contra adversarios poderosos que conocen los inputs de D o D'. En la práctica, u  algoritmo que provee $ε=10$ puede proveer una protección empírica contra ataques existentes bastante alta.

===== Privacidad diferencial aproximada =====
Esta definición de la privacidad Diferencial permite algo más de tolerancia. Un mecanismo $M:D$->$R$ es (ε,δ)-Diferencialmente Privado si para todas las posibles salidas de R⊂R y as parejas de datasets vecinos D, D'∈:
$$Pr(M(D)∈R)≤Pr(M(D')∈R)*e^ε+δ$$ 

===== Escenarios de privacidad Diferencial =====
Dependiendo de donde se ejecuta el mecanismo hay 2 tipos de modelos:
  * Privacidad diferencial Central: Hay un agregador centralizado de confianza que ejecuta el mecanismo M
  * Privacidad diferencial Local: Cada usuario ejecuta el mecanismo M y reporta el resultado al adversario
Existen dos definiciones sobre como se pueden definir dos datasets vecinos en un modelo central:
  * Privacidad diferencial acotada: D y D' tiene el mismo número de entradas, pero se diferencian en el valor de una de ellas.
  * Privacidad diferencial no acotada: D' se obtiene de D tras eliminar una entrada.

===== Mecanismos de privacidad diferencial =====
Existen varios mecanismos que proveen privacidad diferencial y pueden ser aplicados a varios sistemas.
==== Mecanismo Aleatorizado ====
Tenemos un mecanismo $M:{0,1}$->${0,1}$:
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==== Mecanismo Exponencial ====
Este mecanismo puede ser usado para proveer privacidad diferencial en muchos casos, la idea es reportar una salida de forma privada, pero con una probabilidad proporcional a su utilizad.

===== Propiedades de la privacidad diferencial =====
==== Resistencia al Post-Procesado ====
El procesado nunca reduce la privacidad, pero puede incrementarla
==== Privacidad grupal ====
En un escenario de privacidad diferencial central, se considera que los datasets difieren en más de una entrada. Esto puede ser probado construyendo K datasets cambiando una fila en cada uno.
==== Composición secuencial ====
Si se ejecutan k mecanismos en el mismo dataset y se publican todos los resultados, la privacidad se reduce al publicar más resultados, pero, si el valor de $δ$ es algo mayor, se puede obtener un valor de ε mucho menor, aumentando la privacidad.