Cuando un tercero tiene que operar con nuestros datos y no queremos que los vea, se aplica cifrado homomorfico, que permite realizar operaciones sobre datos cifrados.

A la hora de operar con cifrado homomorfico se usan los siguientes componentes:

• n → Tamaño de los vectores
• q → Valor del módulo (módulo q)
  • Trabajamos con módulos en potencias de 2 ($2^x$)
• e → Error
  • Dsitribución normal N(0,γ*q) → r = γ*q
    • Media 0
    • Valor relacionado con q
    • El valor debe estar redondeado
    • Valor entre 0 y q
• a → Vector de soporte
  • Vector de tamaño n con valores entre 0 y q-1
• S → Secreto o clave privada
  • Solo la conoce el dueño de los datos a operar
  • Valores aleatorios del conjunto {-1,0,1}

Sabiendo esto, sabemos que la clave pública (a,b) del cifrado homomorfico es:

Esta fórmula es solo la clave pública, si queremos proceder a realizar el cifrado utilizando esta, debemos introducir otros 2 elementos:

• m → Mensaje a Cifrar
• Δ → Constante (Normalmente su valor es una potencia de 2)

El cifrado homomórfico se vería de la siguiente forma:

• Clave pública → $S^T*a+e$
• Texto Cifrado → $b = S^T*a+e+Δ*m $ $MOD q$
• OJO: a y b son necesarios para poder descrifrar el mensaje

Cuando se mandan datos a un tercero para operar con ellos, se madan a y b

• $m' = Δ*m+e$ → Mensaje aproximado con error

• $m' = m+e$

• Redondeamos el resultado para el descifrado
• Si todo va bien, al realizar el redondeo desaparece el error aplicado y el valor final obtenido es el mensaje inicial.

NOTA: Si el valor de C es muy grande puede descuadrarse todo al multiplicarse el error.