Primero necesitamos añadir el siguiente permiso a AndroidManifest.xml:

<uses-permission android:name="android.permission.INTERNET"/>

Tras eso añadiremos un WebView al que pondremos el ID webViewVideo a nuestra Activity y añadiremos el siguiente código:

val videoins: WebView = findViewById(R.id.webViewVideo)
 
//Obtenemos el código de inserción yendo al video de youtube/comparir/insertar 
//y lo metemos dentro del siguiente String:
 
val video : String = "<iframe width=\"100%\" height=\"100%\" src=\"https://www.youtube.com/embed/xcvtipwzzfQ?si=ZKtkZkA2RtKjqdcC\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen></iframe>"
 
videins.loadData(video, "text/html", "utf-8")//indicamos lo que vamos a insertar
videoins.getSettings().javaScriptEnabled = true //Habilitamos javascript
videoins.webChromeClient = WebChromeClient()//Indicamos el tipo de cliente